Лява граница на функция в точка x0 е стойността, към която клони f(x), когато x се приближава към x0 със стойности, по-малки от x0. Дясна граница е стойността, към която клони f(x), когато x се приближава със стойности, по-големи от x0. Двете заедно се наричат едностранни граници.
Какво са лява и дясна граница?
В много случаи независимата променлива x клони към x0 чрез растящи редици от стойности, тоест отляво, или чрез намаляващи редици от стойности, тоест отдясно. Получените граници се наричат лява и дясна граница на функцията според това дали аргументът остава съответно по-малък или по-голям от стойността, към която клони.
Как се записват?
| Граница | Запис | Как се приближава x |
|---|---|---|
| Лява | limx→x0− f(x) | x < x0 (отляво) |
| Дясна | limx→x0+ f(x) | x > x0 (отдясно) |
Връзка с границата и с непрекъснатостта
Функцията има граница в точката x0 точно тогава, когато лявата и дясната граница съществуват и са равни.
Когато двете едностранни граници са различни, функцията няма граница в тази точка и е прекъсната в нея. Такова прекъсване се нарича скок.
Нека f(x) = x + 1 при x < 2 и f(x) = x2 при x ≥ 2.
- Лява граница в x = 2: 2 + 1 = 3
- Дясна граница в x = 2: 22 = 4
Понеже 3 ≠ 4, функцията е прекъсната в точката x = 2.
За f(x) = |x| / x в точката x = 0 лявата граница е −1, а дясната е 1. Границата в 0 не съществува.
Едностранните граници могат да се пресмятат във всяка точка, не само в точките на прекъсване. Когато функцията е непрекъсната, те просто съвпадат със стойността ѝ в точката.
- Отляво: x < x0. Отдясно: x > x0.
- Равни едностранни граници = функцията има граница.
- Различни едностранни граници = прекъсване (скок).
Често задавани въпроси
Кога една функция има граница в дадена точка?
Когато лявата и дясната ѝ граница в тази точка съществуват и са равни помежду си.
Какво означава, че лявата и дясната граница са различни?
Означава, че функцията няма граница в тази точка и е прекъсната в нея.
Къде се използват едностранните граници?
При изследване на непрекъснатост, при функции, зададени с различни формули в различни интервали, и при определяне на производна в краищата на интервал.